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Excel实现地平日晷图纸的自动生成

摘要:地平日晷的图纸因纬度不同而不同,手工计算、绘制费时费力,本文介绍了一种利用Excel实现地平日晷图纸自动生成的方法。首先确定当地纬度,然后利用Excel计算出各个时间点与12:00刻度的夹角,最后利用Excel的图表功能自动生成当地的地平日晷图纸。

关键词:Excel;地平日晷;自动生成

笔者所在的学校使用的小学科学教材为苏教版,五年级下册的《太阳钟》一课中有一个科学小制作活动“制作太阳钟”,这个活动要求学生在认识了简易太阳钟——“牛顿钟”的基础上,根据教材提示,做一个更加精确的太阳钟。我在教授这一课时,按照教材提供的图纸,带领学生制作出了这个地平日晷,但是拿到太阳底下使用的时候却发现读数误差超过了一个小时,完全谈不上“精确”二字,这是怎么回事呢?

仔细研究这个问题后,我发现地平日晷的特点是晷面水平放置,晷针平行于地轴,所以晷针与晷面的夹角为当地纬度值。这种日晷的制作难度小,适合学生亲自动手制作。但是其结构特点决定了晷针在晷面上的投影随着时间的变化是不均匀的,即晷面的时间刻度是不均匀的。而具体的刻度是需要通过三角函数计算才能得到的,纬度不同,计算出来的刻度也不同,所以不同纬度的地区,所使用的晷面也应该是不同的,最终我确定教材所配的图纸并不适合本地使用。实验产生较大误差的原因,就在于错误地使用了不属于本地的晷面图纸。

为了完成这个制作活动,制作出切实可用的地平日晷,我参考一些文章中关于刻度值的算法,根据本地的纬度计算出了晷盘的刻度,画出了适合本地的晷面图纸,重新进行制作,最后终于取得了成功。

课后反思时,我感到手工计算的方法太过繁琐,于是就用Excel做了一个“地平日晷自动生成工具”,只需要输入当地纬度,即可自动生成适用于本地的晷面刻度盘,这样就可以将广大科学教师从繁琐的计算工作中解放出来,集中精力进行科学教学工作了。

下面,我将详细介绍一下用Excel实现地平日晷自动生成的方法,如有不当之处,敬请指正。

一、地平日晷晷面刻度的计算方法

要计算地平日晷的晷面刻度值,需要两个量:太阳时角和当地纬度值。

这里我们先来定义一下“太阳时角”:从地球上观察,太阳每天运行360°,除以24,可得每小时运行15°。设正午12:00的时候太阳时角为0°,那么13:00的时角为15°,14:00为30°,15:00为45°。

设某一时间刻度与12:00之间的夹角为α,太阳时角为t,当地纬度值为Φ。这三个角度之间存在如下三角函数关系:

tan α = tan t * sin Φ

将t和Φ代入,即可得到tan α 的值,再通过求反正切函数,即可得到时刻所对应的角度α。即:

α = arctan(tan t * sin Φ)

那么,这个公式在Excel里怎么表示呢?

二、用Excel计算地平日晷晷面刻度的方法

设时间为6:00,本地纬度为北纬36°(以笔者所在地为例),在用Excel中,这个公式可以表示为:

DEGREES(ATAN(TAN(RADIANS(ABS(6-12)*15))*SIN(RADIANS(36))))

这里简要介绍一下公式中所使用的几个函数。RADIANS函数的功能是将角度转换为弧度,以便进行三角函数运算;ABS函数为取绝对值;TAN函数为求弧度的正切值;SIN函数为求正弦值;ATAN函数为求反正切值;DEGREES函数的功能是将弧度转换为角度,也就是我们需要的刻度盘角度值。

根据本公式,依次计算常用时间点的夹角(一般为整点及半点的夹角)。以北纬36°为例,6:00-12:00的详细计算结果见下表:

时间(时) 6:00 6:30 7:00 7:30 8:00 8:30 9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:30 12.00
夹角(度) 90.00 77.38 65.49 54.83 45.51 37.45 30.45 24.28 18.75 13.68 8.95 4.42 0.00

(表1  6:00-12:00常用时间点夹角值)

至此,我们已经可以利用这些数值来手动绘制地平日晷的晷面了,但是手动绘制比较繁琐,而且还会产生人为的误差,而我们的目的是自动生成地平日晷的晷面图纸,所以还需要继续做一些工作。

三、Excel实现地平日晷图纸的自动生成

如果我们将一个完整的晷面图纸画出来,会发现这实际上就是一个饼状图,而Excel恰好可以根据数据生成饼状图,我们可以借助这个功能实现我们想要的结果。

实现的方法如下:上面我们已经计算出常用时间点的夹角,接下来我们就可以用这些数据计算出各个夹角在饼状图上所占的百分比,最后利用图表功能生成各个夹角占比的饼状图。这个饼状图就是我们需要的晷面刻度盘。

以北纬36°为例,经过前面的计算,我们已经得知11:00与12:00之间的夹角α为8.95°,所以在饼状图上所占百分比应为8.95/360=2.49%,而10:00所对应的百分比是18.75/360=5.21%。其他各个时间的刻度均按照这个方法计算,如下表所示(说明:由于19:00-5:00之间日晷基本无用,表中将此时间段做了合并)。

时间(时) 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 19:00-5:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00
百分比 2.49% 2.72% 3.25% 4.19% 5.55% 6.81% 6.81% 36.39% 6.81% 6.81% 5.55% 4.19% 3.25% 2.72% 2.49%

(表2  各时间点夹角占比)

利用Excel依次计算出各个时间点所占的百分比,然后借助“插入图表”功能,使用这些百分比数值作为数据源生成饼状图,生成方法比较简单,不再赘述。最后设置一下这个饼状图,使图形更适宜打印,比如隐藏掉一些不需要线条,加上时间值等。

这样,一个“地平日晷自动生成工具”就做成了,只需要把纬度修改为不同的数值,Excel就会根据所输入数值重新计算并生成新的晷面。

最终效果见下图:

北纬36°地平日晷图纸

(图1  北纬36°的晷面图纸)

参考文献:

[1] 金子兴, 徐亮芳. 与 “日晷” 有关的地理问题[J]. 地理教学, 2015, 14: 013.

(本文发表于2018年10月《科学大众(科学教育)》

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